热心网友的回答：
曲线积分是光滑的曲线l
为0xy平面内的一条曲线弧，曲线两端点a，b，
函式f(x，y)在l上有界，
而在l上任意插入一系列无限连续的点m1(x1，
y1)，m2(x2，y2)···，
mn—1(xn—1，yn—1)，并取mo=a，mn=b。把
l分成n个小段，令第i个小弧的长度为△s，又
(ai，bi)为第i个小弧段上任意一点，作乘积f(ai，
bi)△si(i=1，2，···，n)，
并对i求和，如果当各个小弧段的长度的最大值趋近于零时，这个和式的极限存在，则称此极限的值为函式f(x，y)在曲线l上对弧长的曲线积分。
重积分是在有界闭区域)
d上的函式，将d分割成
n个小闭区域(也表示相应小闭区域的面积)，在每个小闭区域的面积上任取一点(ai，bi)作乘积
f(ai，bi)△oi(i=1，2，···，n)，并作求和，如果名小区域直经中的最大值趋于零时，这个和的极限存在，则此极限的值称为函式z=f(x，y)在闭区域d上的重积分(也称二重积分)。
由上面比较可以看出，曲线积分和重积分既有本质的区别，又相互联络的关係，都是对微小段点作乘积作积和
，一个是小弧段长度最大值趋近于零和式求积分，一个是小段面积最大值趋近于零和式求积分。(这是大学本科理科数学研究的问题，所以写的较多)。
️关于重积分和曲线曲面积分的区别 我有的时候分不清一个积分是曲线还是曲面积分怎么办。。求大神讲解～最
热心网友的回答：
都是递进关係，从一重积分开始，只说几何意义吧。
一重积分(定积分)：只有一个自变数y = f(x)
当被积函式为1时，就是直线的长度(自由度较大)
∫(a→b) dx = l(直线长度)
被积函式不为1时，就是图形的面积(规则)
∫(a→b) f(x) dx = a(平面面积)
另外，定积分也可以求规则的旋转体体积，分别是
盘旋法(disc method)：v = π∫(a→b) f²(x) dx
圆壳法(shell method)：v = 2π∫(a→b) xf(x) dx
计算方法有换元积分法，极座标法等，定积分接触得多，不详说了
∫(α→β) (1/2)[a(θ)]² dθ = a(极座标下的平面面积)
二重积分：有两个自变数z = f(x，y)
当被积函式为1时，就是面积(自由度较大)
∫(a→b) ∫(c→d) dxdy = a(平面面积)
当被积函式不为1时，就是图形的体积(规则)、和旋转体体积
∫(a→b) ∫(c→d) dxdy = v(旋转体体积)
计算方法有直角座标法、极座标法、雅可比换元法等
极座标变换：
则∫∫_(σ) pdydz+qdzdx+rdxdy
= ± ∫∫_(d) dxdy
取上/右/前 侧时，取 + 号
取下/左/后 侧时，取 - 号
3：高斯公式
∫∫_(σ) pdydz+qdzdx+rdxdy
= ± ∫∫∫_(ω) (∂p/∂x+∂q/∂y+∂r/∂z) dxdydz
- ∫_(σ和) pdydz+qdzdx+rdxdy
后面(σ和)那部分，若原本给的曲面是不能围成封闭空间的话，不能直接使用高斯公式，需要补上几个面后使得区域封闭，例如补上若干个(σ和)曲面，就可以运用高斯公式了，还要注意最后要减少所补上那几个曲面(σ和)相应的积分
4：挖洞
若在σ上，被积函式上有奇点的话，也不能直接运用高斯公式
需要补上一个小空间r=ε，足以包括所有内部的奇点的，然后取半径ε趋向0
运用高斯公式时也要减去这个部分相应的积分
所以有∫∫_(σ) = ± ∫∫∫_(ω) - ∫∫_(ε)
5：替代
若被积函式f的方程是在σ上，则可以优先把σ的方程代入f中
例如给σ方程：x²+y²+z²=a²
则∫∫_(σ) (pdydz+qdzdx+rdxdy)/√(x²+y²+z²)
= ∫∫_(σ) (pdydz+qdzdx+rdxdy)/a
= (1/a)∫∫_(σ) pdydz+qdzdx+rdxdy
于是这样，就可以避免了4：的情况，不用挖洞
去掉奇点后就可以继续补面使用高斯公式了
️两种曲线积分的区别？
热心网友的回答：
很容易区分呀。第一类曲线积分表示式中是ds。第二类曲线积分表示式中是dx+dy，或只有dx或只有dy。
另外，这两类曲线积分的物理意义是完全不同的，要想真正弄清这两类曲线积分的区别，建议好好看看书，把他们的物理意义弄明白了就很容易区分了。具体如下：
一类曲线是对曲线的长度，二类是对x,y座标。怎么理解呢？告诉你一根线的线密度，问你线的质量，就要用一类。
告诉你路径曲线方程，告诉你x,y两个方向的力，求功，就用二类。二类曲线也可以把x,y分开，这样就不难理解一二类曲线积分之间的关係了，它们之间就差一个余弦比例。
一二类曲面积分也是一样的。一类是对面积的积分，二类是对座标的。告诉你面密度，求面质量，就用一类。
告诉你x,y,z分别方向上的流速，告诉你面方程，求流量，就用第二类。同理，x,y,z方向也是可以分开的，分开了也就不难理解一二类曲面积分的关係了。
你要把以上两点都能理解的话，再去看高斯公式与流量，斯托克斯公式与旋度，这两个是线面体积分转化的两个公式，都理解了就没问题了。
学积分，重要的就是要理解：积分就等于是求积（乘法的积）。积分就是乘法。
因为变数在连续变化，我不能直接乘，所以有了微积分来微元了再乘。一类线面积分就是函式和线面乘，二类线面积分就是函式和座标乘。
重庆市辖区公民的回答：
其实感觉第一类积分与第二类积分的图有有无方向箭头的差别。
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