孤独患者°儅夏的回答：
狄拉克δ函式是一个广义函式，在物理学中常用其表示质点、点电荷等理想模型的密度分布，该函式在除了零以外的点取值都等于零，而其在整个定义域上的积分等于1。
️狄拉克δ函式
中地数媒的回答：
8.1.1δ 函式的定义
我们知道，一般函式的定义是对于自变数x的每一个值，都有特定函式值f（x）与之对应，f（x）称为在点x处的函式值。然而，这里我们要讨论的δ函式不是这种通常意义下的函式，因为它没有通常意义下的「函式值」；它的运算作用只有出现在积分号里才能体现出来，它是某种複杂极限过程的简化符号，是广义函式的一种。
所谓狄拉克δ函式是这样一个算符δ（x），它使得对任何在x=0点连续的函式f（x），有下式成立：
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为理解δ（x），对h＞0引进如下函式序列
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由积分中值定理可知，存在ξ且｜ξ｜＜
，使得有
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于是得到：
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由此可以直观地知道，由严格的理论也可以证明，δ（x）是δh（x）在某种意义下的极限。因为
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故可将δ（x）粗糙地理解为满足
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的一个较通常函式意义更广的「函式」，（8.1.3）式是（8.1.1）式令f≡1而得到的。
物理上常用δ函式来描述集中分布的量，如集中质量、集中电荷等，设在x轴上有一单位质量集中在原点，用δ（x）表示密度分布函式，则在x≠0时，δ（x）=0。如果取δ（x）=c为有限常数，δ（x）便是一个通常意义下的分段连续函式，按照一般的积分计算有
δ（x）dx=0，即总质量为零，这与假设直线上具有单位质量相矛盾。故不能取δ（0）等于有限常数。事实上，若在x轴上取δl为包含原点的区间段，δm为该段总的质量，则密度应为：
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由此可见，这里引入δ函式恰好描述了集中质量问题。在电法勘探问题中，δ函式就恰好描述点源的电荷（或电流）密度。
上面我们定义了一维且奇点在x=0处的δ函式，对n维且奇点在任意点（
、 ，…，
）的δ函式可类似地定义，即它是这样一个算符δ（x1-
）δ（x2-
）…δ（xn-
），使得对任何在点（
， ，…，
）连续的函式f（x1，x2，…，xn），有
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成立，特别当取n=1，x1=x，
=0时，则得到（8.1.1）式。实际上n维δ函式可写成n个一维δ函式的乘积的形式。同样它还应满足：
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本书中只涉及二维或三维的δ函式。
对于一个有限的研究域，关于δ函式，我们还能给出下面常用结果，例如以二维情况为例：
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式中d为一个二维区域，f（x1，x2）在（
， ）处连续，在第二个等式中，要求d的边界γ在奇点（
， ）附近是光滑的，特殊情况，当f=1时，可得：
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现在给出（8.1.7）式的一个直观证明，当x0=（
， ）在d外，由（8.1.5）式知δ在d及其边界上恆为零，这时（8.
1.7）式左部可理解为零函式在通常意义下的积分，其积分值为零，当x0在d内时，这时δ在d的边界和外部恆为零，于是在这些部分的积分也为零，故
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图8.1 d∩b的二维几何表示
从而由（8.1.4）式可知（8.
1.7）式中第三等式成立，对于奇点x0在区域边界γ的情况，令b（x0，ε）是以x0为圆心、ε为半径的开圆（在一维情况是开区间，三维情况下是不含球面的球体，n维情况下为n维开球），注意到δ在b（x0，ε）的外部和边界上为零，知
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式中d∩b表示d域和b圆重合的部分，即图8.1中阴影部分，另外有
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因为γ在x0附近光滑，故当ε趋于零时，d∩b域趋于半圆，这样，由以上两式有
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这便是（8.1.7）式中的第二等式。
8.1.2δ 函式的性质及其傅氏变换
对于一维情况，给出δ函式的一些常用性质及其傅氏变换，均设f（x）在奇点处连续。由（8.1.7）式有
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另外，设α1、α2为常数，δ函式对加法运算是线性的。
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对于任何在x0处连续的函式f（x），有
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上式称为δ函式的筛选性质。由于
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可知地球物理资料处理教程
由于地球物理资料处理教程
故有δ（x）f（x）=δ（x）f（0） （8.1.14）
或同样δ（x-x0）f（x）=δ（x-x0）f（x0） （8.1.15）
如果（8.1.14）式中取f（x）=x，得
xδ（x）=0 （8.1.16）
若取f（x）在区间（-∞，α）（α为正数）外等于零，那么f（0）=0，于是
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由此推知
δ（x）=0 x ＜ 0 （8.1.17）
同理可得
δ（x）=0 x＞0 （8.1.18）
这便是（8.1.2）式的由来。
两个δ函式的褶积由下式确定。
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于是地球物理资料处理教程
下面我们给出δ函式的傅氏变换，根据δ函式的定义（8.1.1）式有
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反过来，数学上可以证明
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即是说δ（x）与1组成傅氏变换对，由（8.1.10）式设f（x）=cosωx，可得δ的余弦变换为
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️狄拉克δ函式的定义
妙妙恄的回答：
物理学中常常要研究一个物理量在空间或时间中分布的密度，例如质量密度、电荷密度、每单位时间传递的动量（即力）等等，但是物理学中又常用到质点、点电荷、瞬时力等抽象模型，他们不是连续分布于空间或时间中，而是集中在空间中的某一点或者时间中的某一瞬时，那么它们的密度应该如何表示呢？ 为了在数学上理想地表示出这种密度分布，引入了δ函式的概念。在概念上，它是这么一个「函式」：
在除了零以外的点函式值都等于零，而其在整个定义域上的积分等于1。用数学表示为：
上述表示式不规定δ函式在0点的取值，是因为这个值无法严谨地表述出来，不能笼统的定义为正无穷，并且函式取值的「大小」是由第二个积分式决定的，因此只需限定取值为零的区域即可 。如果函式不在0点取非零值，而在其他地方，可定义
其中h(x)称为阶跃函式或亥维赛单位函式：
可以证明两种定义是等价的。从第二个定义中，可以看到δ函式可以通过对阶跃函式取微分得到，实际上，只要我们对一个不连续函式取微分，就会出现δ函式 。
️狄拉克δ函式的多维δ函式
手机使用者的回答：
在多维空间中的δ函式定义如下
例如在三维空间中，三维δ函式可表示为三个一维δ函式乘积表示，在直角座标系中
在极座标系中
在球座标系中
多维的δ函式主要性质
δ函式可以表示如下 ：
️关于狄拉克δ函式的疑问
黄梓旻的回答：
可以证明任何除一点外均处处为零的实
函式从正无穷到负无穷的广义积分的值为零，也就是说满足dirac函式的条件的函式事实上并不存在，因此它不是通常意义上的函式，虽然可以像普通的函式一样对其进行各种运算。
它可以看成分布（正如概率论中的概率密度函式），也是测度，也是广义函式。广义函式通常定义为函式空间上的连续线性泛函。简单地说，广义函式是「某些函式的连续线性函式」。
从这个意义上说，你说的定义域是「函式」。
热心网友的回答：
关于狄拉克δ函式的疑问:
δ（x）= ∞ x = 0 时δ（x）= 0 x ≠ 0 时且∫ (x:-∞-> ∞ ) δ（x）dx = 1它的定义域是r。这个函式确实很怪，在0点处值无穷大，但"总强度"却等于1。
所以工程上也叫单位脉冲函式。自然界也确实存在与δ函式特徵相类似的现象：1，一道极强的闪电，瞬间电压几乎是无穷大（∞ ），离开这一刻就消失了（0），但是总强度是有限的（积分是有限值）。
这类现象经科学家一抽象，就引出了狄拉克δ函式。2，另外的一个例子：如材料力学中常见的集中载荷问题，集中载荷被认为是作用在一个点上的，一个点上作用一个力那么压强几乎为无穷大，可力是有限的，总强度是有限的，这又是一个与δ函式有关的问题。
如果用微分方程解弹性樑的变形曲线，那么集中载荷可表成：pδ（x-x1），它的意思是在樑x1点处作用一个集中载荷p：其总强度 ∫ (x:
-∞-> ∞ ) pδ（x-x0）dx = p。 数学家研究出有关δ函式的运算方法，使得许多问题迎刃而解！在自动控制系统中，给系统输入δ(t)函式，那么系统的响应叫作脉冲响应函式h(t)，有了
h(t)系统对任意输入x(t)的响应y(t)等于h(t)与x(t)的卷积：y(t) = h(t)*x(t)。δ（x）因与常规函式不同列为广义函式，专门研究其理论，方法和应用。
️狄拉克δ函式的性质
若儿矿鞑憍的回答：
狄拉克δ函式有以下性质 ，在理解这些性质的时候，应该认为等式两边分别作为被积函式的因子时得到的结果相等 偶函式，其导数是奇函式
放缩（或相似性）
这种性质称为挑选性，它将 在 点的值 挑选出来上述性质则可看成适用于高阶导数的挑选性。 如果方程 的实根 全是单根，则
该等式的含义为，若将δ函式作用在一个函式上，则会把函式的实根挑选出来，其左边表示在函式 为零时会取非零值，右边表示在 处，会取得非零值，并且取值「大小」，或者说在积分中的作用大小与δ函式的比值是函式在 处导数的绝对值的倒数。通过这一性质可以得到一些具体的等式，如
以及这个性质说明δ函式与x的乘积在积分中与0的作用是相同的。
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