的回答：
函式f(x1，x2，，xn)在点x0沿方向u=(u1，u2，，un)的方向导数为
af/ax1*u1+af/ax2*u2++af/axn*un=，其中df(x0)就是f在x0的梯度向量，<>表示内积。
由cauchy_schwartz不等式知道当且仅当u和df(x0)同方向时，内积最大，
反方向时内积最小;
因此u=df(x0)/||df(x0)||时，方向导数最大;
u=-df(x0)/||df(x0)||时，方向导数最小。
️高等数学：梯度的含义？
心曳的回答：
首先讲下方向导数。正如偏导一样，方向导数也是在特定方向上函式的变化率，只不过偏导是在x和y轴方向上罢了，特殊一点而已。方向导数在各个方向上的变化一般是不一样的，那到底沿哪个方向最大呢？
沿哪个方向最小呢？为了研究方便，就有了梯度的定义。很明显梯度实际上就是以对x的偏导为横座标，以对y偏导数为纵座标的一个向量，而方向导数就等于这个向量乘以指定方向的单位向量。
根据向量乘积的定义可知，对于一个给定的函式，他的偏导是一定的（当然是在同一个点），所以当给定方向与梯度方向一致时，变化最快
总的来说，梯度的定义是为了研究方向导数的大小更方便而定义的。
（ps：那些偏导公式不好打，不然可以解释得很清楚的！！！求採纳啊亲......）
孙红全的回答：
梯度gradient
设体系中某处的物理引数(如温度、速度、浓度等)为w，在与其垂直距离的dy处该引数为w+dw，则称为该物理引数的梯度，也即该物理引数的变化率。如果引数为速度、浓度或温度，则分别称为速度梯度、浓度梯度或温度梯度。
在向量微积分中，标量场的梯度是一个向量场。标量场中某一点上的梯度指向标量场增长最快的方向，梯度的长度是这个最大的变化率。更严格的说，从欧氏空间rn到r的函式的梯度是在rn某一点最佳的线性近似。
在这个意义上，梯度是雅戈比矩阵的一个特殊情况。
在单变数的实值函式的情况，梯度只是导数，或者，对于一个线性函式，也就是线的斜率。
梯度一词有时用于斜度，也就是一个曲面沿着给定方向的倾斜程度。可以通过取向量梯度和所研究的方向的点积来得到斜度。梯度的数值有时也被成为梯度。
在二元函式的情形，设函式z=f(x,y)在平面区域d内具有一阶连续偏导数，则对于每一点p(x,y)∈d，都可以定出一个向量
(δf/x)*i+(δf/y)*j
这向量称为函式z=f(x,y)在点p(x,y)的梯度，记作gradf(x,y)
类似的对三元函式也可以定义一个：(δf/x)*i+(δf/y)*j+(δf/z)*k 记为grad[f(x,y,z)]
️请问在高数中,方向导数和梯度的具体几何意义是什么以及如何解答有
分公司前的回答：
方向导数就是一个曲面上的某点(x，y)，从该点起始沿特定方向函式的变化率。可以类比成：有一个山峰，你站在山顶观察，北坡较陡南坡较缓。
梯度：梯度本质就是一个向量。一个曲面上某点(x，y)，梯度是由该点偏导数得出的向量(a，b)。可以类比成：你站在该点，按照向量所指的方向下山最快。
️梯度为零有什么物理意义
天蝎的回答：
因为电场强度等于电势梯度的负值。梯度为零时，场强是一个零向量，如果是导体则导体是等势体。设体系中某处的物理引数(如温度、速度、浓度等)为w。
在与其垂直距离的dy处该引数为w+dw，则称为该物理引数的梯度，也即该物理引数的变化率。如果引数为速度、浓度、温度或空间，则分别称为速度梯度、浓度梯度、温度梯度或空间梯度。
在标量场f中的一点处存在一个向量g，该向量方向为f在该点处变化率最大的方向，其模也等于这个最大变化率的数值，则向量g称为标量场f的梯度。
在向量微积分中，标量场的梯度是一个向量场，标量场中某一点上的梯度指向标量场增长最快的方向，梯度的长度是这个最大的变化率。
热心网友的回答：
梯度一般用来形容电场。梯度为零时，场强是一个零向量，如果是导体则导体是等势体。
梯度的本意是一个向量（向量），表示某一函式在该点处的方向导数沿着该方向取得最大值，即函式在该点处沿着该方向（此梯度的方向）变化最快，变化率最大（为该梯度的模）。
**ile方方舟舟的回答：
梯度相当于多维的导数 导数你知道 是表示变化率的 导数为零表示常量
那么同样 某变数沿边界的梯度方向的偏导数为零即这一变数沿这一方向的变化率为零
就好像两点在一条等高线上
️请问梯度和方向导数间的区别?
刘皮克的回答：
1梯度是所有方向的方向导数中绝对值最大的那个方向导数，且指向函式值增大的方向。
方向导数与梯度是场论中的概念，你可以搜以下北京大学出版社出版的《流体力学》，第一章就是介绍场论的。这两个概念与「骑自行车向正北方向」等没有联络
2向量场的大小组成的场有梯度，向量场的梯度没有意义。梯度是针对标量场的。
宾有福畅倩的回答：
定义我就不说了，你自己查一下书。
方向导数是函式沿各个方向的导数，梯度是一个向量，因此梯度本身是有方向的。
它们的关係主要有两个：
1、函式在梯度这个方向的方向导数是最大的，换句话说，一个函式在各个方向都有方向导数，其中梯度这个方向的导数为最大；
2、函式方向导数的最大值为梯度的模。
【数学之美】团队为你解答，如有疑问请追问，如果解决问题请採纳。
️方向导数和梯度是什么，可不可以讲通俗一点，定义有点看不懂
紫月开花的回答：
方向向量除以它的模，就得到夹角的方向余弦值
️方向导数和梯度不太明白10
热心网友的回答：
当然有区别。方向导数是数值，而梯度是向量，表示式也完全不一样。自己翻翻书，如何？
️方向导数与偏导数有什么区别？梯度在实际中有什么应用？
永恆组的回答：
偏导数：函式在座标轴方向上的变化率； 方向导数：函式在其他特定方向上的变化率。
梯度：该点处变化率最大的方向。例：
单位时间或单位距离内某种现象（如温度、气压、密度、速度等）变化的程度。
注意 沿着梯度方向的函式值变化率最大，且为梯度的模。则此题求出梯度即可迎刃而解，下图供参考 向左转 向右转 高数，关于 方向导数与梯度 的 k是椭圆某点处的斜率 等于此点处的导数 k 是椭圆此点处的法线斜率 k 1 k 内法线方向 即点指向椭圆内部法线方向 等于 dx,dy dx 2 dy 2 0....
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